Posts

Importants

সংখ্যা ধারণার উৎপত্তি

সংখ্যা ধারণার উৎপত্তি বর্তমান গণিতের জন্ম হয়েছে গণনা থেকে। গণনার ধারণা থেকেই প্রথম সংখ্যা ব্যবহারের প্রয়োজনীয়তা অনুভূত হয়েছিল যদিও সংখ্যার জন্ম হয়েছে অনেক সময়ের ব্যবধানে। প্রাচীন প্রস্তর যুগে মানুষ যখন গুহায় বসবাস করতো তখনও এক - দুই পর্যন্ত গণনা চালু ছিল বলে ধারণা করা হয়। তখন পারিবারিক বা সামাজিক জীবন ভালো করে শুরু না হলেও পদার্থের রূপ সম্বন্ধে তারা ওয়াকিবহাল ছিল। নব্য প্রস্তর যুগে মানুষ খাদ্য আহরণ , উৎপাদন এবং সঞ্চয় করতে শুরু করে। মৃৎ , কাষ্ঠ এবং বয়ন শিল্পের প্রসার ঘটে যার অনেক নমুনা বর্তমানে আবিষ্কৃত হয়েছে। অধিকাংশের মতে এ সময়েই ভাষার বিকাশ ঘটে। তবে ভাষা যতটা বিকশিত হয়েছিল তার তুলনায় সংখ্যার ধারণা ছিল বেশ অস্পষ্ট। সংখ্যাগুলো সর্বদাই বিভিন্ন বস্তুর সাথে সংশ্লিষ্ট থাকতো। যেমন , পশুটি , দুটি হাত , একজোড়া ফল , এক হাঁড়ি মাছ , অনেক গাছ , সাতটি তারা ইত্যাদি। এমনকি অস্ট্রেলিয়া , আমেরিকা এবং আফ্রিকার অনেক গোত্র আজ থেকে মাত্র দুশো বছর আগেও এ অবস্থায়

Multiplication

Multiplication (often denoted by the cross symbol × , by the mid-line dot operator ⋅ , by juxtaposition , or, on computers, by an asterisk * ) is one of the four elementary mathematical operations of arithmetic , with the others being addition , subtraction and division . The result of a multiplication operation is called the product . The multiplication of whole numbers may be thought as a repeated addition ; that is, the multiplication of two numbers is equivalent to adding as many copies of one of them, the multiplicand , as the value of the other one, the multiplier . Both numbers can be called factors . a × b = (b+...+b)/a For example, 4 multiplied by 3 (often written as and spoken as "3 times 4") can be calculated by adding 3 copies of 4 together: Here 3 and 4 are the factors and 12 is the product .

নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ধারা ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে ।

নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ধারা ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে । ক) ৯৭২ খ) ৪০৫৬ গ) ২১৯৫২ সমাধান: ক) ৯৭২ প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই  ৯২৭ = ২ ×২ ×৩×৩×৩×৩×৩  ৯২৭ =( ২ ×২) ×(৩×৩)×(৩×৩)×৩  এখানে ৩ সংখ্যাটি জোড়া বিহীন এবং ৩ ধারা ৯২৭ কে ভাগ করলে ভাগফল ৩২৪ যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা  সুতরাং নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৩   সমাধান: খ) ৪০৫৬ প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই  ৪ ০৫৬  = ২ ×২ ×২ ×৩×১৩×১৩  ৪ ০৫৬ =( ২ ×২) ×(১৩×১৩ )×৩ ×২  এখানে ৬ সংখ্যাটি জোড়া বিহীন এবং৬ ধারা ৪০৫৬   কে ভাগ করলে ভাগফল ৬৭৬  যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা  সুতরাং নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৬  সমাধান:  গ) ২১৯৫২ প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই  ২১৯৫২   = ২ ×২ ×২ ×২ ×২×২ ×৭ ×৭×৭  ৪ ০৫৬ =( ২ ×২) × ( ২ ×২)× ( ২ ×২)×(৭×৭ )×৭  এখানে ৭ সংখ্যাটি জোড়া বিহীন এবং৬ ধারা ২১৯৫২ কে ভাগ করলে ভাগফল ৩১৩৬যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা  সুতরাং নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৭ 

নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ধারা গুন করলে গুণফল একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে ।

নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ধারা গুন করলে গুণফল একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে ।   ক) ১৪৭ খ) ৩৮৪ গ) ১৪৭০ ঘ)২৩৮০৫     ক) ১৪৭   সমাধান:  ১৪৭কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়  ১৪৭ = ৩×৭ ×৭            = (৭ ×৭) × ৩  এখানে উৎপাদক ৩ জোড়াবিহীন ।সুতরাং ১৪৭  কে ৩দ্বারা গুন করলে গুণফল পূর্ণ বর্গ হবে সংখ্যা হবে ।   অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩     খ) ৩৮৪   সমাধান:  ৩৮৪  কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়  ৩৮৪ =২×২×২×২×২×২×২×৩          =(২×২)×(২×২)×(২×২)×২×৩  এখানে উৎপাদক ২×৩ জোড়াবিহীন ।সুতরাং ৩৮৪ কে ২×৩ = ৬   দ্বারা গুন করলে গুণফল পূর্ণ বর্গ সংখ্যা  হবে ।   অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬    গ) ১৪৭০   সমাধান:  ১৪৭কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়  ১৪৭০ =২ × ৩ × ৫ × ৭ ×৭            = (৭ ×৭) × ২ × ৩ ×৫   এখানে উৎপাদক 2 ×৩ ×৫  জোড়াবিহীন ।সুতরাং ১৪৭০   কে ২ × ৩ × ৫ = ৩০ দ্বারা গুন করলে গুণফল পূর্ণ বর্গ হবে সংখ্যা হবে ।   অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০   ঘ) ২৩৮০৫   সমাধান:  ২৩৮০৫ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়  ২৩৮০৫ =  ৩ × ৩ × ৫ × 2৩ ×২৩            = (৩ × ৩) ×

ভাগের সাহায্যে বর্গমূল করার নিয়ম

Image
ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করার জন্য প্রথমে সংখ্যাটিকে মাঝে লিখে ডানপাশে একটি খাড়া দাগ দেওয়া হয়। ধরে নেওয়া যাক , সংখ্যাটি ৫৫২২৫। এরপর সংখ্যাটির অঙ্কগুলোকে ডানদিক থেকে দুটি দুটি করে জোড়া তৈরি করার জন্য ওপরে একটি করে দাগ দেওয়া হয়। এভাবে সংখ্যাটির একেবারে বামের জোড় বা একক অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটির ঠিক আগের বর্গসংখ্যাটি এর নিচে লিখে বিয়োগ করা হয় এবং ডানপাশে খাড়া দাগের পাশে বর্গসংখ্যাটির বর্গমূল লেখা হয়।   এ ক্ষেত্রে ৫ - এর আগের বর্গসংখ্যা হলো ৪ , সুতরাং ডানে ২ লেখা হয় এবং ৫ থেকে ৪ বিয়োগ করা হয় এরপর প্রথম অংশটির জন্য পাওয়া বিয়োগফলের ডানে পরবর্তী অঙ্ক জোড় নামিয়ে লেখা হয়। ফলে নতুন আরেকটি সংখ্যা তৈরি হয় , যার বাম পাশে একটি খাড়া দাগ দিয়ে ডানের সংখ্যাটিকে দ্বিগুণ করে এই খাড়া দাগের বামে   লেখা হয়। এরপর এমন একটি অঙ্ক পছন্দ করা হয় , যেটি নতুন খাড়া দাগের বামের   দ্বিগুণ করে পাওয়া সংখ্যাটি অর্থাৎ   ৪   এর ডানে লিখে যে সংখ্যা পাওয়া যায় , তার সঙ্গে গুণ করলে নতুন

মৌলিক গুণনীয়ক এর সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়

Image
মৌলিক গুণনীয়ক এর সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়  মৌলিক গুণনীয়ক এর সাহায্যে কোন পূর্ণ বর্গ সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়ের নিয়ম ।   প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করতে হবে   এরপর একই ধরনের মৌলিক গুণনীয়ক নিয়ে জোড়া বানাতে হবে   প্রতি জোড়া থেকে একটি করে একই   মৌলিক গুণনীয়ক নিয়ে পাশাপাশি লিখতে হবে ।   প্রাপ্ত মৌলিক গুণনীয়ক গুলর গুণফলই হবে নির্ণেয় বর্গমূল   তোমরা এগুলো বাসাই কর।  ৫২৯  1521 2500